У всіх іграх передбачається, що грають двоє, ходи робляться по черзі (гравець не може пропускати хід). Розв’язати задачу – значить вказати, хто переможе при ідеальній грі обох суперників: той, хто починає (перший гравець), чи його партнер (другий). При цьому слід вказати виграшну стратегію – як саме слід грати гравцю для виграшу.

Приклад 1.

Двоє по черзі кладуть на стіл симетричної форми однакові монети так, щоб монети не накладались одна на одну. Програє той, хто не може зробити черговий хід.

Розв’язання.

У цій грі виграє перший гравець незалежно від розмірів і форми столу! Він кладе монету так, щоб її центр та центр столу співпадали. Після цього на кожен хід свого суперника він відповідає симетрично відносно центра стола. Відмітимо, що при такій стра ... Читати далі »

Простим називається число, яке не має інших дільників, крім 1 і самого цього числа.

Натуральне число ділиться на 3 тоді і тільки тоді, коли сума його цифр ділиться на 3.

Натуральне число ділиться на 9 тоді і тільки тоді, коли сума його цифр ділиться на 9.

Натуральне число ділиться на 2 тоді і тільки тоді, коли його остання цифра парна або 0.

Натуральне число ділиться на 5 тоді і тільки тоді, коли його остання цифра 5 або 0.

Натуральне число ділиться на 4 тоді і тільки тоді, коли число, утворене двома його останніми цифрами (в тому ж порядку) ділиться на 4.

Натуральне число ділиться на 8 тоді і тільки тоді, коли число, утворене трьома його останніми цифрами (в тому ж порядку) ділиться на 8.

Приклад 1.

Хлопчик написав у зошиті число 65349*0712 як приклад числа, що ділиться: а) на 9; б) на 3. (на місці зірочки стояла цифра, яку випадково витерли). Допоможіть ві ... Читати далі »

При розв’язуванні задач зручно користуватися правилами суми та добутку.

Правило суми: якщо деякий об’єкт А можна вибрати m способами, а інший об’єкт В можна вибрати n способами, то вибір "Або А, або В" можна здійснити m+n способами.

При використанні правила суми потрібно слідкувати, щоб жоден із способів вибору об’єкта А не співпадав із жодним способом вибору об’єкта В.

Приклад 1.

У вазі лежать чотири яблука та три груші. Скількома способами можна обрати один фрукт?

Розв’язання.

Якщо у вазі лежать 4 яблука, то одне яблуко можна обрати чотирма способами (можемо взяти одне із 4 яблук). Якщо у вазі лежать 3 груші, то одну грушу можна обрати трьома способами (можемо взяти одну із трьох груш). А обрати один фрукт можна 4+3=7 способами.

Правило добутку: якщо деяк ... Читати далі »

Принцип Діріхле найпростіше зрозуміти, використавши таку його жартівливу форму: "Якщо в N клітках сидять не менше N+1 кроликів, то у якійсь із кліток сидить не менше двох кроликів". Звернемо увагу на невизначеність висновків – "у якійсь із кліток", "не менше". Ця невизначеність часто призводить до цікавих висновків на основі, здавалось би, недостатніх даних. Часто при розв’язуванні задач на принцип Діріхле точне доведення міркувань можна дати за допомогою доведення від супротивного.

Приклад 1.

У мішку лежать кульки двох кольорів: чорного та білого. Яку найменшу кількість кульок  потрібно дістати з мішка наосліп, щоб серед них точно виявились дві кульки одного кольору?

Розв’язання.

Зрозуміло, що двох кульок може не вистачити: може вияви ... Читати далі »