Діофант (DiГіphantos) представляє одну з цікавих загадок в історії математики. Ми не знаємо, ким був Діофант, точні року його життя, нам не відомі його попередники, які працювали б в тій же області, що і він.

На могилі Діофанта є вірш-загадка, розв'язуючи яку неважко підрахувати, що Діофант прожив 84 року. Про час життя Діофанта ми можемо судити по роботах французького дослідника науки Поля Таннрі, і це, ймовірно, середина III ст.н.е. 

Найбільш цікавим видається творчість Діофанта. В«Праці його подібні виблискуючому вогню серед повної непроникною темряви В». [Стройк] До нас дійшло 7 книг з, можливо, 13, які були об'єднані в В«АрифметикуВ». Стиль і зміст цих книг різко відрізняються від класичних античних творів з теорії чисел і алгебри, зразки яких ми знаємо по В«ЗасадамВ» Евкліда, лем з творів Архімеда і Аполлонія. В«АрифметикаВ», безсумнівно, стала результатом численних досліджень, багато з яких залишилися нам невідомі. Ми можемо тільки гадати про її коренях і вражатися багатству і красі її методів і результатів.

В«АрифметикаВ» Діофанта - це збірник завдань (їх всього 189), кожна з яких забезпечена рішенням і необхідним поясненням. У збори входять вельми різноманітні завдання, а їх рішення часто в найвищою мірою дотепно. Діофант практикувався у знаходженні рішень невизначених рівнянь виду, або систем таких рівнянь. Типово для Діофанта, що його цікавлять тільки позитивні цілі і раціональні рішення. Ірраціональні рішення він називає В«неможливимиВ» і ретельно підбирає коефіцієнти так, щоб вийшли шукані позитивні, раціональні рішення.

Тому, звичайно, довільне невизначений рівняння (але, як правило, все-таки з цілими коефіцієнтами) отримує титул "диофантово", якщо хочуть підкреслити, що його потрібно вирішити в цілих числах.

Невизначені рівняння 1-го ступеня почали розглядатися індуськими математиками пізніше, приблизно з V століття. Деякі такі рівняння з двома і трьома невідомими з'явилися в зв'язку з проблемами, що виникли в астрономії, наприклад, при розгляді питань, пов'язаних з визначенням періодичного повторення небесних явищ. 

Перше спільне рішення рівняння першого ступеня, де - цілі числа, зустрічається у індійського мудреця Брахмагупти (бл. 625 г). Тому, строго кажучи, немає підстав називати лінійні невизначені рівняння діофантових. Однак, історично все ж склалося застосовувати термін В«ДиофантовоВ», до будь рівнянню, вирішується в цілих числах.

У 1624 р. в публікується книга французького математика Баше де Мезірьяка В«Problбє»mes plaisans et delectables que se font par les nombres В». Баше де Мезірьяк для вирішення рівняння фактично застосовує процес, що зводиться до послідовного обчислення неповних приватних і розгляду відповідних дробів.

Після Баше де Мезірьяка в XVII і XVIII століттях різні правила для вирішення невизначеного рівняння 1-го ступеня з двома невідомими давали Роль, Ейлер, Саундерсон та інші математики.

Ланцюгові дроби до рішення таких рівнянь були застосовані Лагранжем, який, однак, зауважує, що фактично це той же спосіб, що був даний Баше де Мезірьяком і іншими математиками, розглядали невизначені рівняння до нього. Невизначені рівняння 1-й ступеня стали записуватися й розв'язуватися у формі порівняння значно пізніше, починаючи з Гауса.

У серпні 1900 р. в Парижі відбувся II Міжнародний конгрес математиків. 8 серпня Д.Гильберта прочитав на ньому доповідь "Математичні проблеми". Серед 23 проблем, вирішення яких (На думку Д.Гильберта) абсолютно необхідно було отримати в наступаючому XX в., десяту проблему він визначив наступним чином:

"Нехай задано диофантово рівняння з довільним числом невідомих і раціональними числовими коефіцієнтами. Вказати спосіб, за допомогою якого можливо після кінцевого числа операцій встановити, вирішуваний Чи це рівняння в цілих числах ". 

Гіпотезу, що такого способу немає, першим висунув (з достатнім на те підставою) американський математик М.Девіс в 1949 р. Доказ цієї гіпотези розтягнулося на 20 років - останній крок був зроблений тільки в 1970 р. Юрієм Володимировичем Матіясеевічем, на першому році аспірантури він показав алгоритмічну нерозв'язність 10 проблеми Гільберта.

За матеріалами роботи Бєлова Д.В.