У всіх іграх передбачається, що грають двоє, ходи робляться по черзі (гравець не може пропускати хід). Розв’язати задачу – значить вказати, хто переможе при ідеальній грі обох суперників: той, хто починає (перший гравець), чи його партнер (другий). При цьому слід вказати виграшну стратегію – як саме слід грати гравцю для виграшу.

Приклад 1.

Двоє по черзі кладуть на стіл симетричної форми однакові монети так, щоб монети не накладались одна на одну. Програє той, хто не може зробити черговий хід.

Розв’язання.

У цій грі виграє перший гравець незалежно від розмірів і форми столу! Він кладе монету так, щоб її центр та центр столу співпадали. Після цього на кожен хід свого суперника він відповідає симетрично відносно центра стола. Відмітимо, що при такій стратегії після кожного ходу першого гравця позиція симетрична.  Тому, якщо можливий черговий хід другого гравця, то можливий і симетричний хід першого. А, отже, він виграє.

Примітка 1.

У випадку, коли симетричність багатоваріантна, для розв’язання задачі слід правильно вибрати центр або вісь симетрії.

Примітка 2.

При доведенні правильності симетричної стратегії не можна забувати про те, що черговому симетричному ходу може завадити щойно зроблений суперником хід. Щоб розв’язати задачу за допомогою симетричної стратегії, необхідно знайти таку симетрію, при якій щойно зроблений суперником хід не заважає здійсненню обраного плану.

Приклад 2.

Двоє по черзі ставлять слонів на клітинки шахової дошки так, щоб слони не били один одного (колір слонів значення не має). Програє той, хто не може зробити хід.

Розв’язання.

Оскільки шахова дошка симетрична відносно свого центра, то природно спробувати симетричну стратегію. Але цього разу (першим ходом слона не можна поставити в центр дошки) симетрію може підтримувати другий гравець. Здавалося б, це і є виграшна стратегія. Однак, слідуючи їй, другий гравець не зможе зробити навіть свій перший хід. Слон, щойно поставлений першим гравцем, може бити центрально-симетричне поле.

Задача легко розв’язується, якщо застосувати не центральну, а осьову симетрію шахової дошки. За вісь симетрії можна взяти пряму, яка розділяє, наприклад, четверту і п’яту горизонталі. Симетричні відносно неї поля різного кольору, а отже, поставлений на одне з них, слон не заважає ходу на інше. Отже, в даній грі виграє другий гравець.

Приклад 3.

По колу розставлено 20 точок. За один хід дозволяється з’єднати будь-які дві з них відрізком, який не перетинає жодного з раніше проведених відрізків. Програє той, хто не може зробити хід.

Розв’язання.

Виграє перший гравець. Першим ходом він проводить хорду, по обидві сторони від якої лежить по 9 точок. Після цього на кожен хід другого гравця він відповідає аналогічним ходом , симетричним відносно хорди, з іншого боку.

Задачі для самостійного розв’язання.

1. Дана шахова дошка. За один хід дозволяється покрити будь-які дві не покриті раніше клітинки доміношкою 1х2. Програє той, хто не може зробити хід.

2. На столі лежать дві купки монет: в одній із них 30 монет, а в другій – 20. За хід дозволяється взяти будь-яку кількість монет із однієї купки. Програє той, хто не зможе зробити хід. Хто із гравців виграє при правильній грі?

3. Два гросмейстери по черзі ставлять на шахову дошку тури (за один хід – одну туру) так, щоб вони не били одна одну. Той, хто не зможе поставити туру, програє. Хто виграє при правильній грі?

4. У ромашки а) 12 пелюсток, б) 11 пелюсток. За один хід дозволяється зірвати або одну пелюстку, або дві пелюстки, що ростуть поруч. Програє гравець, який не може зробити хід. Як слід грати другому гравцю, щоб виграти незалежно від ходу першого гравця?

5. Є дві купки камінців – по 7 в кожній. За хід дозволяється взяти будь-яку кількість камінців із однієї купки. Програє той, хто не зможе зробити хід. Хто із гравців виграє при правильній грі?

6. Двоє ставлять королів у клітинки дошки 9х9 так, щоб королі не били один одного. Програє той, хто не може зробити хід.

7. Двоє по черзі ламають шоколадку 5х10. За хід дозволяється зробити прямолінійний розлом будь-якого одного наявного шматка вздовж заглиблення. Виграє той, хто першим відламає шматочок 1х1.

8. Тарасик і Оксана по черзі зафарбовують клітинки таблиці розміром 2000х 2000. За один хід дозволяється зафарбувати будь-які дві не зафарбовані раніше клітинки, що мають спільну сторону. Починає гру Тарасик, а переможцем вважається той, після ходу якого вже не можна продовжити гру. Як слід грати Оксані, щоб завжди перемагати в цій грі?

9. Хлопчик і дівчинка проводять діагоналі в правильному 2006-кутнику так, щоб вони не перетиналися. Той, хто проведе таку діагональ останнім, виграє. Як повинна грати дівчинка, що починає гру, щоб виграти?

10. Двоє по черзі відривають пелюстки ромашки. Можна за один раз  зірвати  будь-яку одну  або  дві  пелюстки,  що  ростуть  поруч.  Виграє  той,  хто  зриває  останню  пелюстку.  Хто  виграє,  якщо  на  ромашці  23 пелюстки?

11. Хлопчик і дівчинка по черзі зафарбовують клітинки таблиці розміром 2015х2015. За один хід дозволяється зафарбувати будь-яку одну не зафарбовану клітинку або будь-які дві не зафарбовані раніше клітинки, котрі мають спільну сторону. Починає гру хлопчик, а програє той, хто не може зробити хід. Хто?

12. По колу рівномірно розкладені 2015 цукерок, які за рухом годинникової стрілки перенумеровані числами від 1 до 2015. Андрій та Олеся грають у таку гру – вони по черзі беруть розкладені цукерки. За один хід можна взяти 2 чи 3 цукерки, номера яких є послідовними числами (вважаємо, що 1 та 2015 також є «послідовними»). Програє той, хто не може зробити черговий хід. Хто переможе у цій грі, якщо першим ходить Андрій та кожен намагається виграти? Відповідь обґрунтуйте.

Заняття підготував вчитель математики Крутівської ЗОШ Монько І.О.